2013-09-13
■ 2012 JMO 本選解いてみた(ネタバレ注意)
タイトル通りです。
ミスや、表現に良くない点があったら指摘して頂けると嬉しいです＞＜
1. G
X=PQ∩ABとし、Y=PR∩ACとする。
中点連結定理よりXY//QRなので XY⊥PCを示せば良い。
ここで∠PYA+∠PXA=180°なので4点Y,P,X,Aは同一円周上にある。f:
また、接弦定理より∠PAX=∠PCAである。このとき
∠PAX=aとすると∠PYX=aが円周角の定理から言え、上式より∠PCA=aもいえる。
△CPYに注目することで∠CPY=90°-∠PCAであるので、
∠YPB+∠PYB=∠CPY+∠PYX=90°ゆえXY⊥PCがいえる。よって示せた(Q.E.D)
2. FE
f:R->Rの関数とするとき任意の実数x,yに対し f( f(x+y) f(x-y) ) = x^2-y f(y) が成り立つので
x=y=0を代入すると f( (f(0))^2 )=0である。ここでa=(f(0))^2とすると
x=0, y=aを代入すると f(0)=0
x=2a, y=aを代入すると f(0)=4a^2
ゆえa=0であり f(0)=0がいえる。
ここで x=y=t(t≠0) を代入すると
f(0)=t^2-t f(t) = 0
ゆえf(t)=tとなる必要がある。
これとf(0)=0を合わせてf(x)=xとなる。
f(x)=xは与えられた条件をみたすので求める解は f(x)=xである。
3. N
pを素数とする。すべての整数xに対し
p | x^n-1 => p^2 | x^n-1
を満たすような正整数nをすべてもとめよ。
まずx=p+1を代入すると
(p+1)^n ≡ 1 (mod p)なので p | x^n-1 である。
即ち(p+1)^n ≡ 1(mod p^2)である必要があるが
二項定理より(p+1)^n ≡ np+1 (mod p^2)ゆえ
p | nがいえる。
n=ap(aは正整数)と表すことができる。
次にn=apならば条件を満たすことを証明する。
x^ap ≡ 1(mod p)となるxに対して xとpが互いに素なことは自明なので
フェルマーの小定理よりx^(p-1) ≡ 1(mod p) これより x^a ≡ 1(mod p)がわかる。
ここで(x^ap-1) = (x^a-1) (x^a(p-1)+x^a(p-2)+...+x^a+1)であり
(x^a-1) ≡ 0(mod p)が分かっており
x^a(p-1) ≡ 1^(p-1) ≡ 1(mod p)
x^a(p-1) ≡ 1^(p-2) ≡ 1(mod p)
...
x^a ≡ 1(mod p)
1 ≡ 1(mod p)
ゆえ(x^a(p-1)+x^a(p-2)+...+x^a+1) ≡ 1*p ≡ 0( mod p)
以上の議論よりp | x^n-1 => p^2 | x^n-1となることが分かったので
求める解は n=ap(aは正整数) である。
